110 學年度指定科目考試試題：數學乙
第壹部分：選擇題（單選題、多選題及選填題共占 74 分）
一、單選題（占 18 分）
說明：第 1 題至第 3 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 6 分；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。
1.下列選項分別為甲、乙、丙、丁、戊等五個地區 1 至 10 歲（以整數計）兒童罹患某疾病的人數散佈圖。試選出罹患某疾病的人數與年齡相關係數值最大的選項。
| (1) | (2) |
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| (3) | (4) |
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| (5) | |
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2.已知實係數二次多項式函數 f(x) 滿足 f(-1)=k，f(1)=9k，f(3)=−15k， 其中 k>0 。設函數 y=f(x) 圖形頂點的 x 坐標為 a ，試選出正確的選項。
\begin{array}{ll} % "ll" sets up two left-aligned columns (1)\ a \le −1 \\ (2)\ -1<a<1 \\ (3)\ a=1 \\ (4)\ 1<a<3 \\ (5)\ 3 \le a \\ \end{array}
3.某公司舉辦年終抽獎活動，每人從編號分別為 1 至 6 的六張牌中隨機抽取兩張。假設每張牌抽到的機會均相等，且規則如下：
（一）若這兩張牌的號碼之和是奇數，則可得獎金 100 元，此時抽獎結束；
（二）若號碼之和為偶數，就將這兩張牌丟掉，再從剩下的四張牌中隨機抽取兩張牌，且其號碼之和為奇數，則可得獎金 50 元，其他情形則沒有獎金，此時抽獎結束。
依上述規則，試求每人參加此抽獎活動的獎金期望值為多少元？
\begin{array}{ll} (1)\ 50 \\ (2)\ 70 \\ (3)\ 72 \\ (4)\ 80 \\ (5)\ 100 \\ \end{array}
二、多選題（占 32 分）
說明：第 4 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 8 分；答錯 1 個選項者，得 4.8 分；答錯 2 個選項者，得 1.6 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
4.設 a= log_2 \, 8 ，b= log_3 \, 1 ，c= log_{0.5} \, 8 ， 試選出正確的選項。
\begin{array}{ll}
(1)\ b=0 \\
(2)\ a+b+c>0 \\
(3)\ a>b>c \\
(4)\ a^2>b^2>c^2 \\
(5)\ 2^a>3^b>({1 \over 2})^c \\
\end{array}
5.某便利商店將甲、乙、丙三個積木模型和 a、b、c、d、e 五個角色公仔，共八個玩具，分成兩袋販售。每袋均裝有四個玩具，其分裝的原則如下：
（一）甲和 a 必須裝在同一袋。
（二）每袋至少裝有一個積木模型。
（三） d 和 e 必須裝在不同袋。
根據以上敘述，試選出正確的選項。
(1) 每袋至少裝有兩個角色公仔
(2) 乙和丙必裝在不同袋
(3) 如果乙和 d 裝在同一袋，則丙和 e 必裝在同一袋
(4) 如果乙和 d 裝在不同袋，則 b 和 c 必裝在不同袋
(5) 如果 b 和 c 裝在不同袋，則乙和丙必裝在同一袋
6.已知實數數列 \langle\, a_n\rangle 滿足 a_1 = 1，a_{n+1} = {2n+1 \over 2n-1} a_n，n 為正整數。試選出正確的選項。
(1) \ a_2 = 3
(2) \ a_4 = 9
(3) \ \langle\, a_n\rangle 為等比數列
(4) \ \sum_{n=1}^{20} a_n = 400
(5) \ \lim_{n \to \infty} {a_n \over n} = 2
另一種寫法較美觀，但沒找到置左的方法
7.已知某人每次飛鏢射中的機率皆為 1 \over 2 ，且每次射飛鏢的結果均互相獨立。試從下列選項中，選出發生機率為 1 \over 2 的事件。
(1) 連續射 2 次飛鏢，恰射中 1 次
(2) 連續射 4 次飛鏢，恰射中 2 次
(3) 連續射 4 次飛鏢，射中的總次數為奇數
(4) 連續射 6 次飛鏢，在第 1 次沒有射中的條件下，第 2 次有射中
(5) 連續射 6 次飛鏢，在前 2 次恰射中 1 次的條件下，後 4 次恰射中 2 次
三、選填題（占 24 分）
說明：
1.第 A 至 C 題，將答案劃記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（8–13）。
2.每題完全答對給 8 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。
A.數線上有原點 O 及三點 A(−2)、B(10)、C(x) ，其中 x 為實數。
已知線段 \overline{BC}、\overline{AC}、 \overline{OB} 長度大小關係為 \overline{BC}<\overline{AC}< \overline{OB} ，
則 x 的最大範圍為 \ \underline{⑧}<x<\underline{⑨} 。
B.設矩陣 A=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}^{-1} ， B=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}^{-1} ，其中 {\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}^{-1} 為矩陣 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} 的反方陣。若 A+B=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ，則 a+b+c+d= \underline{ ⑩ \ ⑪} 。
C.已知一個不均勻銅板，投擲時出現正面的機率為 1 \over 3 ，出現反面的機率為 2 \over 3 。今在坐標平面上有一顆棋子，依投擲此銅板的正反面結果，前進至下一個位置，規則如下：
（一）若擲出為正面，則從目前位置依著向量 (−1,2) 的方向與長度，前進至下一個位置；
（二）若擲出為反面，則從目前位置依著向量 (1,0) 的方向與長度，前進至下一個位置。
例如：棋子目前位置在坐標 (2,4) ，若擲出反面，則棋子前進至坐標 (3,4) 。
假設棋子以原點 (0,0) 為起始點，依上述規則，連續投擲此銅板 6 次，且每次投擲均互相獨立，則經過 6 次移動後，棋子停在坐標 (\ \underline{ ⑫ \ , \ ⑬} \ ) 的機率最大。
─ ─ ─ 以下是第貳部分的非選擇題，必須在答案卷面作答 ─ ─ ─
第貳部分：非選擇題（占 26 分）
說明：本部分共有二大題，答案必須寫在「答案卷」上，並於題號欄標明大題號（一、二）與子題號（(1)、(2)、……），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分甚至零分。作答使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫，且不得使用鉛筆。若因字跡潦草、未標示題號、標錯題號等原因，致評閱人員無法清楚辨識，該部分不予計分。每一子題配 分標於題末。
一、坐標平面上有兩點 A(-3,4)，B(3,2) 及一條直線 L 。已知 A、B 兩點在直線 L 的兩側且 \overset{\rightharpoonup}n =(4,-3) 是直線 L 的法向量。設 A 點到直線 L 的距離為 B 點到直線 L 的距離的 5 倍。根據上述，試回答下列問題。
(1) 試求向量 \overset{\rightharpoonup }{AB} 與向量 \overset{\rightharpoonup}n 的內積。（4分）
(2) 試求直線 L 的方程式。（4分）
(3) 設 P 點在直線 L 上且 \overline{PA} = \overline{PB} ，試求 P 點坐標。（4分）
二、已知某廠商生產甲、乙兩型電動車所需的成本有電池、馬達、其他等三大類，甲、乙兩型的各類成本如下表（單位：萬元）：
今該廠商甲、乙兩型電動車售價的算式為「電池成本的 x 倍」、「馬達成本的 y 倍」與「其他成本的 {x+y} \over 2 倍」之總和，即
其中倍數 x、y 需滿足「 1 \le x \le 2，1 \le y \le 2 ，且甲、乙兩型電動車的售價均不超過 200 萬元」。
該廠商為了區隔產品，希望甲、乙兩型電動車的售價差距最大。根據上述資訊，試回答下列問題。
(1)試寫出甲、乙兩型電動車的售價（以 x、y 的式子來表示），並說明「甲型電動車的售價必定高於乙型電動車的售價」。（4分）
(2)試在坐標平面上，畫出滿足題幹條件 (x,y) 的可行解區域，並以斜線標示該區域。（4分）
(3)試求當倍數 x、y 分別為多少時，甲、乙兩型電動車的售價差距最大？此時甲、乙兩型電動車的售價差距為多少萬元？（6分）
選擇（填）題參考答案
資料來源：大學入學考試中心