遇過一位提問者發問此題： ( 2^{30} - 1 ) 是 31 的倍數嗎？
當然可以使用計算機算出，而個人回答如下：
(1) 利用乘法公式：
（平方差與立方差）
( 2^{30} - 1 ) = ( 2^{15} - 1 )( 2^{15}+1) = ( 2^5 -1 )( 2^{10} + 2^5 +1)(2^{15}+1)
由於 2^5 - 1 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 - 1 =31 ，故原式為 31 倍數。
(2) 利用 mod
( 2^{30} - 1 ) = (2^5)^6-1=32^6-1
因為 32 除以 31 餘數為 1 ，那麼 32^6 - 1 除以 31 的餘數 等於 1^6 - 1 = 0 ，故原式為 31 倍數。
(3) 利用多項式除法衍生出來的餘式定理
（這是個人想的, 計算量比較小）
令 2^5 = t, 則 31 = 2^5 - 1 = t - 1 , 2^{30} -1 = t^6 -1 ;
t^6 - 1 除以 t -1 的餘式為 0
這裡當然可以以多項式除法除出餘式為 0 ，不過可利用餘式定理，令 t = 1 ，帶入 t^6 - 1 得餘式為 0 。餘式為 0 ，代表原式為 31 的倍數。
給朋友們參考與指教（其應該能看出來，原式也是 33 的倍數，還有其他數字比較大的）